선형시스템

Last updated Jan 19, 2023 Edit Source

$$ a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3} + … + a_{n}x_{n} = b $$

$$ \begin{align*} a^Tx = b \\ where , a = \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ … \\ a_{n} \\ \end{bmatrix} and& , x = \begin{bmatrix} x{1} \\ x{2} \\ … \\ x_{n} \\ \end{bmatrix} \end{align*} $$

만약 행렬 $A$가 역행렬이 가능하다면(invertible), 가능한 해는 오직 하나이며 그것은 $x = A^{-1}b$ 이다.

역행렬이 가능한지는 두 가지 방식으로 알 수 있다. 행렬 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}$일때,

1. $ad - bc =0$ 이거나(= denominator가 0이면),
2. $a:b = c:d$ 이면 역행렬이 존재하지 않는다.

단, 이것은 2차원일 때의 이야기다.

만약 행렬 $A$가 역행렬이 존재하지 않는다면,

1. 해가 없거나
2. 가능한 해가 무수히 많다는 이야기다.

만약 정사각 행렬이 아니라면?

$m = equations, , n = variables$ 이라고 할 때,

• m < n: 가능한 해가 무수히 많다.
• n < m: 해가 존재하지 않는다.

• 내적 Inner product: 벡터들로부터 스칼라를 만드는 것

$$ \begin{equation} \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \\ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 14 \end{bmatrix} \end{equation} $$

• 외적 Outer product: 두 열벡터를 곱하여 큰 매트릭스를 만드는 것

\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \\ 5 & 10 \\ \end{bmatrix} \end{equation} $$